L'interès compost és l'interès calculat sobre el principal inicial i també sobre els interessos acumulats de períodes anteriors d'un dipòsit o préstec. L’efecte de l’interès compost depèn de la freqüència.
Assumeix un tipus d'interès anual del 12%. Si comencem l'any amb 100 dòlars i els compondrem una sola vegada, al final de l'any, el principal creix fins a 112 dòlars (100 x 1, 12 $ = 112 $). Si en comptes de mes comprimim l'1%, acabem amb més de 112 dòlars al final de l'any. És a dir, 100 x 1.01 ^ 12 a 112, 68 dòlars. (És més elevat perquè vam compondre més freqüentment.)
El compost de forma contínua retorna el compost més freqüent de tots. El compostatge continu és el límit matemàtic que pot arribar a l'interès compost. Es tracta d’un cas extrem de compostos, ja que la major part d’interès s’acosta a base mensual, trimestral o semestral.
Taxes de retorn semestrals
Primer, mirem una convenció potencialment confusa. Al mercat de bons, ens referim a un rendiment equivalent en bons (o una base equivalent a bons). Això vol dir que si una fiança cedeix un 6% de forma semestral, el seu rendiment equivalent en obligacions és del 12%.
Imatge de Julie Bang © Investopedia 2019
El rendiment semestral simplement es duplica. Això és potencialment confús perquè el rendiment efectiu d'un vincle de rendiment equivalent al 12% és de 12, 36% (és a dir, 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Doblar el rendiment semestral només és una convenció de denominació d’enllaços. Per tant, si llegim sobre un enllaç del 8% compost de forma semestral, suposem que es refereix a un rendiment semestral del 4%.
Taxa de devolució trimestral, mensual i diària
Ara, anem a parlar de freqüències més altes. Seguim assumint un tipus d'interès de mercat anual del 12%. Sota les convencions de denominació de bons, això implica una taxa de compostos semestrals del 6%. Ara podem expressar la taxa trimestral composta en funció del tipus d’interès del mercat.
Imatge de Julie Bang © Investopedia 2019
Tenint en compte una taxa de mercat anual ( r), la taxa trimestral composta ( r q) ve donada per:
Rq = 4
Així, per exemple, on la taxa de mercat anual és del 12%, la taxa trimestral composta és de l’11, 825%:
Rq = 4≅11.825%
Imatge de Julie Bang © Investopedia 2019
Una lògica similar s'aplica a la recopilació mensual. La taxa composta mensual ( r m ) es dóna aquí com a funció de la taxa d'interès ( r) anual del mercat :
La taxa diària composta ( d) en funció del tipus d’interès ( r) de mercat és donada per:
rd = 360 = 360≅11, 66%
Com funciona el compostatge continu
Imatge de Julie Bang © Investopedia 2019
Si augmentem la freqüència del compost fins al seu límit, anem compostant contínuament. Tot i que això no sigui pràctic, la taxa d’interès contínua composta ofereix propietats meravellosament convenients. Resulta que el tipus d'interès contínuament compost es dóna per:
Rcontinuu = ln (1 + r)
Ln () és el registre natural i, en el nostre exemple, la taxa de compost continu és per tant:
Rcontinuu = ln (1 + 0, 12) = ln (1, 12) ≅11, 33%
Arribem al mateix lloc agafant el registre natural d'aquesta relació: el valor final dividit pel valor inicial.
Rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (100112) ≅11.33%
Aquest últim és freqüent quan es calcula la rendibilitat contínua per una acció. Per exemple, si les accions salten de 10 dòlars un dia a 11 dòlars l'endemà, el retorn diari de forma contínua es dóna per:
Rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (10 $ 11 $) ≅9, 53%
Què hi ha de tan gran sobre la taxa (o rendibilitat) contínuament composta que denotarem amb r c ? En primer lloc, és fàcil escalar-lo endavant. Tenint en compte un principal de (P), la nostra riquesa final durant (n) anys ve donada per:
W = Perc n
Tingueu en compte que e és la funció exponencial. Per exemple, si comencem amb 100 dòlars i compondrem contínuament un 8% en tres anys, la riquesa final ve donada per:
W = 100 $ (0, 08) (3) = 127, 12 dòlars
El descompte al valor actual (PV) és simplement compondre al revés , de manera que el valor present d'un valor futur (F) compost de forma contínua a un ritme de ( r c) ve donat per:
PV de F rebut en (n) anys = erc nF = Fe − rc n
Per exemple, si rebeu 100 dòlars en tres anys amb una taxa continuada del 6%, el seu valor actual ve donat per:
PV = Fe − rc n = (100 $) e− (0, 06) (3) = 100 € − 0, 18 0. 83, 53 $
Escalat a diversos períodes
La propietat convenient dels rendiments contínuament compostos és que s’escala en diversos períodes. Si la rendibilitat del primer període és del 4% i la rendibilitat del segon període és del 3%, el retorn de dos períodes és del 7%. Penseu que comencem l'any amb 100 dòlars, que creixen fins a 120 dòlars al final del primer any, i després a 150 dòlars al final del segon any. Els rendiments contínuament compostos són, respectivament, el 18, 23% i el 22, 31%.
Ln (100120) ≅18, 23%
Ln (120150) ≅22, 31%
Si simplement els sumem, obtenim el 40, 55%. Aquest és el retorn de dos períodes:
Ln (100150) ≅40, 55%
Tècnicament parlant, el retorn continu és consistent en el temps. La coherència de temps és un requisit tècnic de valor en risc (VAR). Això vol dir que si un retorn d’un sol període és una variable aleatòria distribuïda normalment, volem que les variables aleatòries de diversos períodes es distribueixin també. A més, la rendibilitat de compost continuat de diversos períodes es distribueix normalment (a diferència d'un percentatge senzill).
La línia de fons
Podem reformular els tipus d’interès anuals en taxes d’interès semianuals, trimestrals, mensuals o diàries (o taxes de rendibilitat). El compostatge més freqüent és el compost continu, que requereix que utilitzem un registre natural i una funció exponencial, que s’utilitza habitualment en finances per les seves propietats desitjables: s’escala fàcilment en diversos períodes i és coherent en el temps.
