Mitjana aritmètica i mitjana geomètrica

Hi ha moltes maneres de mesurar el rendiment de la cartera financera i determinar si una estratègia d’inversió té èxit. Els professionals de la inversió solen utilitzar la mitjana geomètrica , més comunament anomenada mitjana geomètrica, per fer-ho.

La mitjana geomètrica difereix de la mitjana aritmètica o mitja aritmètica, de la manera en què es calcula perquè té en compte la composició que es produeix de període en període. Per això, els inversors solen considerar la mitjana geomètrica una mesura de rendiments més precisa que la mitjana aritmètica.

La fórmula per a la mitjana aritmètica

$\begin{matrix} A = \frac{1}{n} \sum_{jo = 1}^{n} a_{jo} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} \\ on: \\ a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} = Devolució de cartera per període n \\ n = Nombre de períodes \end{matrix} \ begin {align} & A = \ frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ n a_i = \ frac {a_1 + a_2 + \ dotso + a_n} {n} \ & \ textbf {on:} \ & a_1, a_2, \ dotso, a_n = \ text {El portafolí retorna el període} n \\ & n = \ text {Nombre de períodes} \ \ end {alineat}$ A = n1 i = 1∑n ai = na1 + a2 +… + an on: a1, a2,…, an = La cartera retorna el període nn = Nombre de períodes

Mitjana aritmètica

Com calcular la mitjana aritmètica

Una mitjana aritmètica és la suma d'una sèrie de nombres dividida pel recompte d'aquesta sèrie de nombres.

Es calcularia com:

$\begin{matrix} \frac{60 % + 70 % + 80 % + 90 % + 100 %}{5} = 80 % \end{matrix} \ begin {align} i \ frac {60 \% + 70 \% + 80 \% + 90 \% + 100 \%} {5} = 80 \% \\ \ end {align}$ 560% + 70% + 80% + 90% + 100% = 80%

El motiu pel qual utilitzem una mitjana aritmètica per a les puntuacions de prova és que cada puntuació és un esdeveniment independent. Si un estudiant passa a efectuar un examen deficient, les probabilitats del següent estudiant de fer un examen deficient (o bé) en l'examen no seran afectades.

Al món de les finances, la mitjana aritmètica no sol ser un mètode adequat per calcular una mitjana. Considereu els rendiments de la inversió, per exemple. Suposem que heu invertit els vostres estalvis en els mercats financers durant cinc anys. Si els rendiments de la vostra cartera cada any fossin del 90%, el 10%, el 20%, el 30% i el -90%, quin seria el vostre rendiment mitjà durant aquest període?

Amb la mitjana aritmètica, el rendiment mitjà seria del 12%, que a primera vista sembla impressionant, però no és del tot exacte. Això passa perquè quan es tracta de rendiments anuals d'inversió, els números no són independents els uns dels altres. Si perdeu una quantitat considerable de diners en un any determinat, disposeu d’un capital molt inferior per invertir i generar rendiments en els anys següents.

Hauríem de calcular la mitjana geomètrica dels rendiments de la inversió per arribar a una mesura exacta de la que seria la rendibilitat mitjana anual realitzada durant els cinc anys.

La fórmula per a la mitjana geomètrica

$\begin{matrix} {(\prod_{jo = 1}^{n} x_{jo})}^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}} \\ on: \\ x_{1}, x_{2}, \dots = Devolució de cartera per a cada període \\ n = Nombre de períodes \end{matrix} \ begin {align} & \ left ( prod_ {i = 1} ^ n x_i \ right) ^ { frac {1} {n}} = \ sqrt {x_1 x_2 \ dots x_n} \ & \ textbf {on:} \ & x_1, x_2, \ dots = \ text {Retorns de portafoli per a cada període} \ & n = \ text {Nombre de períodes} \ \ end {alineat}$ (I = 1∏n xi) n1 = nx1 x2… xn on: x1, x2, ⋯ = Retorns de portafoli per a cada períoden = Nombre de períodes

Com calcular la mitjana geomètrica

La mitjana geomètrica d'una sèrie de nombres es calcula agafant el producte d'aquests números i elevant-lo a la inversa de la longitud de la sèrie.

Per fer-ho, n'afegim un a cada número (per evitar problemes amb percentatges negatius). A continuació, multiplica tots els nombres junts i eleva el seu producte a la potència d’un dividit pel recompte de números de la sèrie. A continuació, en restem un del resultat.

La fórmula, escrita en nombres decimals, s’assembla a aquesta:

$\begin{matrix} \frac{1}{n} - 1 \\ on: \\ R = Retorn \\ n = Nombre de números de la sèrie \end{matrix} \ begin {align} & ^ { frac {1} {n}} - 1 \\ & \ textbf {where:} \ & \ text {R} = \ text {Return} \ & n = \ text {Count dels nombres de la sèrie} \ \ end {alineat}$ N1 −1 on: R = Retorn = Nombre de números de la sèrie

La fórmula sembla ser força intensa, però en el paper no és tan complexa. Tornant al nostre exemple, calculem la mitjana geomètrica: els nostres resultats van ser del 90%, 10%, 20%, 30% i -90%, de manera que els incorporem a la fórmula com:

$\begin{matrix} (1.9 \times 1.1 \times 1.2 \times 1.3 \times 0.1)^{\frac{1}{5}} - 1 \end{matrix} \ begin {align} & (1, 9 \ times 1, 1 \ times 1, 2 \ times 1, 3 \ times 0.1) ^ { frac {1} {5}} -1 \\ \ end {align}$ (1, 9 × 1, 1 × 1, 2 × 1, 3 × 0, 1) 51 −1

El resultat dóna una rendibilitat mitjana geomètrica anual del -20, 08%. El resultat mitjançant la mitjana geomètrica és molt pitjor que la mitjana aritmètica del 12% calculada anteriorment, i, per desgràcia, també és el nombre que representa la realitat en aquest cas.

Punts clau

La mitjana geomètrica és la més adequada per a sèries que presenten correlació de sèries. Això és especialment cert per a les carteres d’inversions. La majoria de rendiments en finances estan correlacionats, inclosos els rendiments de les obligacions, els rendiments d’accions i les primes de risc de mercat. Com més llarg és l’horitzó de temps, més gran és la compilació crítica i més adequat l’ús de la mitjana geomètrica. Per a nombres volàtils, la mitjana geomètrica proporciona una mesura molt més precisa del retorn real tenint en compte la recopilació any rere any.

Taula de continguts: