La fórmula de distribució normal es basa en dos paràmetres simples - mitjana i desviació estàndard - que quantifiquen les característiques d’un conjunt de dades determinat. Si bé la mitjana indica el valor "central" o mitjà de tot el conjunt de dades, la desviació estàndard indica la "difusió" o la variació de punts de dades al voltant d'aquest valor mitjà.
Considereu els dos conjunts de dades següents:
Conjunt de dades 1 = {10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10}
Conjunt de dades 2 = {6, 8, 10, 12, 14, 14, 12, 10, 8, 6}
Per a Dataset1, mitjana = 10 i desviació estàndard (stddev) = 0
Per a Dataset2, mitjana = 10 i desviació estàndard (stddev) = 2, 83
Analitzem aquests valors per a DataSet1:
De la mateixa manera per a DataSet2:
La línia horitzontal vermella dels dos gràfics anteriors indica el valor "mitjà" o mitjà de cada conjunt de dades (10 en els dos casos). Les fletxes rosades del segon gràfic indiquen la difusió o la variació dels valors de dades a partir del valor mitjà. Això es representa amb un valor de desviació estàndard de 2, 83 en el cas de DataSet2. Com que DataSet1 té tots els valors iguals (com a 10 cadascun) i no hi ha variacions, el valor stddev és zero i, per tant, no són aplicables fletxes roses.
El valor stddev té unes quantes característiques importants i útils que són de gran ajuda en l’anàlisi de dades. Per a una distribució normal, els valors de les dades es distribueixen simètricament a banda i banda de la mitjana. Per a qualsevol conjunt de dades normalment distribuït, dibuixi gràfic amb stddev a l’eix horitzontal i núm. de valors de dades en eix vertical, s'obté el gràfic següent.
Propietats d'una distribució normal
- La corba normal és simètrica respecte a la mitjana; la mitjana es troba a la meitat i divideix l'àrea en dues meitats; la superfície total sota la corba és igual a 1 per a mitjana = 0 i stdev = 1; la distribució es descriu completament per la seva mitjana i stddev
Com es pot veure en el gràfic anterior, stddev representa el següent:
- El 68, 3% dels valors de dades es troben dins de 1 desviació estàndard de la mitjana (-1 a +1) El 95, 4% dels valors de dades es troben dins de 2 desviacions estàndard de la mitjana (-2 a +2) El 99, 7% dels valors de dades es troben dins de 3 desviacions estàndard de la mitjana (-3 a +3)
L’àrea sota la corba en forma de campana, quan es mesura, indica la probabilitat desitjada d’un rang determinat:
- inferior a X: - per exemple, la probabilitat que els valors de dades siguin inferiors a 70 que X - per exemple, la probabilitat que els valors de dades siguin superiors a 95 entre X 1 i X 2 - per exemple, la probabilitat de valors de dades entre 65 i 85
on X és un valor d’interès (exemples a continuació).
No sempre és convenient representar i calcular l’àrea, ja que diferents conjunts de dades tindran diferents valors de mitjana i stddev. Per facilitar un mètode estàndard uniforme per a càlculs fàcils i aplicabilitat a problemes del món real, es va introduir la conversió estàndard als valors Z, que formen part de la taula de distribució normal.
Z = (X - mitjana) / stddev, on X és la variable aleatòria.
Bàsicament, aquesta conversió obliga a la mitjana i a stddev a estandarditzar-se a 0 i 1 respectivament, cosa que permet utilitzar un conjunt definit de valors Z (de la taula de distribució normal) per a càlculs fàcils. Un quadre en snap de la taula de valors z estàndard que conté valors de probabilitat és el següent:
|
z |
0, 00 |
0, 01 |
0, 02 |
0, 03 |
0, 04 |
0, 05 |
0, 06 |
|
0, 0 |
0, 00000 |
0, 00399 |
0, 00798 |
0, 01197 |
0, 01595 |
0, 01994 |
… |
|
0.1 |
0, 0398 |
0, 04380 |
0, 04776 |
0, 05172 |
0, 05567 |
0, 05966 |
… |
|
0, 2 |
0, 0793 |
0, 08317 |
0, 08706 |
0, 09095 |
0, 09483 |
0, 09871 |
… |
|
0, 3 |
0.11791 |
0.12172 |
0.12552 |
0.12930 |
0.13307 |
0.13683 |
… |
|
0, 4 |
0, 15542 |
0, 15910 |
0.16276 |
0, 16640 |
0.17003 |
0.17364 |
… |
|
0, 5 |
0.19146 |
0.19497 |
0.19847 |
0.20194 |
0, 20540 |
0, 20884 |
… |
|
0, 6 |
0, 22575 |
0, 22907 |
0, 23237 |
0, 23565 |
0, 23891 |
0, 24215 |
… |
|
0, 7 |
0, 25804 |
0.26115 |
0.26424 |
0, 26730 |
0, 27035 |
0.27337 |
… |
|
... |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Per trobar la probabilitat relacionada amb el valor z de 0, 239865, arrodoneu-lo primer a dos decimals (és a dir, 0, 24). A continuació, comproveu els dos primers dígits significatius (0, 2) a les files i el dígit menys significatiu (restant 0, 04) a la columna. Això comportarà un valor de 0, 09483.
Es pot trobar la taula de distribució normal completa, amb precisió de fins a cinc punts decimals per als valors de probabilitat (inclosos els dels valors negatius).
Vegem alguns exemples de la vida real. L'alçada d'individus d'un gran grup segueix un patró de distribució normal. Suposem que tenim un conjunt de 100 individus les altures dels quals es registren i la mitjana i el stddev es calculen a 66 i 6 polzades respectivament.
A continuació, es mostren algunes preguntes d'exemple que poden respondre fàcilment mitjançant la taula de valors z:
- Quina és la probabilitat que una persona del grup tingui 70 polzades o menys?
La pregunta és trobar el valor acumulat de P (X <= 70), és a dir, a tot el conjunt de dades de 100, quants valors seran entre 0 i 70.
Convertim primer el valor X de 70 al valor Z equivalent.
Z = (X - mitjana) / stddev = (70-66) / 6 = 4/6 = 0, 66667 = 0, 67 (rodó a 2 decimals)
Ara hem de trobar P (Z <= 0, 67) = 0. 24857 (de la taula z anterior)
és a dir, hi ha un 24, 857% de probabilitats que un individu del grup sigui inferior o igual a 70 polzades.
Però pengeu-hi: l’anterior no és completa. Recordeu-ho, que busquem la probabilitat de totes les alçades possibles fins a 70, és a dir, de 0 a 70. A continuació, us proporciona la porció de valor mig a desitjat (és a dir, 66 a 70). Hem d’incloure l’altra meitat (de 0 a 66) per arribar a la resposta correcta.
Des de 0 a 66 representa la meitat de la porció (és a dir, una mitjana extrema a la de mig camí), la seva probabilitat és simplement de 0, 5.
D’aquí la probabilitat correcta que una persona tingui 70 polzades o menys = 0.24857 + 0.5 = 0. 74857 = 74.857%
Gràficament (calculant l'àrea), es tracta de les dues regions sumades que representen la solució:
- Quina és la probabilitat que una persona tingui 75 polzades o més?
és a dir, Trobeu P acumulatiu complementari (X> = 75).
Z = (X - mitjana) / stddev = (75-66) / 6 = 9/6 = 1, 5
P (Z> = 1, 5) = 1- P (Z <= 1, 5) = 1 - (0, 5 + 0, 43319) = 0, 06681 = 6, 681%
- Quina és la probabilitat que una persona estigui entre 52 polzades i 67 polzades?
Trobeu P (52 <= X <= 67).
P (52 <= X <= 67) = P = P (-2, 33 <= Z <= 0, 17)
= P (Z <= 0, 17) –P (Z <= -0, 233) = (0, 5 + 0, 56749) - (.40905) =
Aquesta taula de distribució normal (i valors z) sol utilitzar-se per a qualsevol càlcul de probabilitats sobre els moviments de preus esperats a la borsa de valors i índexs. S'utilitzen en el comerç basat en rang, identificant nivells de pujada o baixada, suport o resistència i altres indicadors tècnics basats en conceptes normals de distribució de mitjana i desviació estàndard.
Comparació de comptes d'inversió × Les ofertes que apareixen a aquesta taula provenen de col·laboracions per les quals Investopedia rep una compensació. Nom del proveïdorArticles relacionats
Comerç de l'educació bàsica
Prova d’hipòtesi en finances: concepte i exemples
Gestió de riscos
Optimitzeu el vostre portafoli amb la distribució normal
Anàlisi Tècnica Educació Bàsica
La regressió lineal del temps i el preu
Gestió de riscos
Els usos i límits de la volatilitat
Anàlisi financera
Com calcular el valor en risc (VaR) a Excel
Eines per a l'anàlisi fonamental
Comprensió de les mesures de volatilitat
Enllaços de socisTermes relacionats
Interval de confiança Definició L'interval de confiança, en estadístiques, fa referència a la probabilitat que un paràmetre de població caigui entre dos valors establerts. més Gestió del risc en finances Al món financer, la gestió del risc és el procés d’identificació, anàlisi i acceptació o mitigació de la incertesa en les decisions d’inversió. La gestió del risc es produeix en qualsevol moment que un inversor o gestor de fons analitza i intenta quantificar el potencial de pèrdues d'una inversió. més Comprensió de la corba de tresoreria de tipus puntual La corba de tresoreria de tipus spot es defineix com una corba de rendiments construïda a partir de les taxes de tresoreria puntuals en lloc dels rendiments. La corba del Tresor de tipus d'interès es pot utilitzar com a punt de referència per als bons de preus. més Índex Gini Definició L'índex Gini és una mesura estadística de distribució que sovint s'utilitza com a mesura de la desigualtat econòmica. més Model de preus de capital patrimonial (CAPM) El model de preus de capital patrimonial és un model que descriu la relació entre risc i rendibilitat esperada. més Comprensió de la mitjana harmònica La mitjana harmònica és una mitjana que s'utilitza en finances per promediar múltiples com la relació preu-beneficis. més