Valorar les opcions pot ser un negoci complicat. Penseu en el següent escenari: Al gener del 2015, les accions d'IBM es cotitzaven en 155 dòlars i esperaves que anés a la pujada el següent any. Teniu la intenció de comprar una opció de trucada a les accions d’IBM amb un preu de vaga de caixers automàtics de 155 dòlars, que espera beneficiar-se d’uns rendiments percentuals elevats, basats en un cost d’opció reduït (prima d’opció), en comparació amb la compra d’accions amb un preu de compra elevat.
Quin ha de ser el valor raonable d'aquesta opció de trucada a IBM?
Avui en dia, hi ha disponibles un parell de diferents mètodes preparats per a opcions de valor, inclosos el model de Black-Scholes i el model d’arbre binomi, que poden proporcionar respostes ràpides. Però, quins són els factors subjacents i els conceptes impulsors per arribar a aquests models de valoració? Es pot preparar alguna cosa semblant a partir del concepte d’aquests models?
Aquí, es tracten els blocs de construcció, conceptes subjacents i els factors que es poden utilitzar com a marc per construir un model de valoració d’un actiu com les opcions, proporcionant una comparació de forma paral·lela als orígens de Black-Scholes (BS) model.
The World Before Black-Scholes
Abans de Black-Scholes, el model de preus de capital patrimonial (CAPM) basat en l'equilibri va ser àmpliament seguit. Les rendibilitats i els riscos es van equilibrar entre si, en funció de la preferència de l’inversor, és a dir, es preveia que un inversor amb un risc elevat es compensés amb (el potencial de) rendiments més alts en una proporció similar.
El model BS troba les seves arrels a CAPM. Segons Fisher Black: "Vaig aplicar el model de preus de capital patrimonial a tots els moments de la vida d'un mandat, per a qualsevol preu de stock possible i valor de garantia". Malauradament, la CAPM no va poder complir el requisit de preus de garantia (opció).
Black-Scholes continua sent el primer model, basat en el concepte d’arbitratge, que fa un canvi de paradigma dels models basats en el risc (com ara CAPM). Aquest nou desenvolupament del model BS va substituir el concepte de rendibilitat d’accions de CAPM pel reconeixement del fet que una posició perfectament coberta obtindrà una taxa sense risc. Això va treure les variacions de risc i rendibilitat i va establir el concepte d’arbitratge en què les valoracions es realitzen en supòsits de concepte neutre de risc: una posició coberta (sense risc) hauria de conduir a una taxa de rendibilitat lliure de risc.
El desenvolupament de Black-Scholes
Comencem per establir el problema, quantificar-lo i desenvolupar un marc per a la seva solució. Continuem amb el nostre exemple en valorar l'opció de trucada de caixers automàtics a IBM amb un preu de vaga de 155 dòlars amb un any de caducitat.
Sobre la base de la definició bàsica d’opció de trucada, tret que el preu de les accions arribi al nivell de preus de vaga, l’abonament es manté nul. Després d'aquest nivell, la recompensa augmenta linealment (és a dir, que un augment d'un dòlar a la base subministrarà un benefici d'un dòlar de l'opció de trucada).
Si suposem que el comprador i el venedor coincideixen en la valoració justa (inclòs el preu zero), el preu just teòric per a aquesta opció de trucada serà:
- Preu de l’opció de trucada = 0 $, si es troba <subjecció (gràfic vermell) Preu de l’opció de trucada = (subjacent —atac), si es troba subjacent> = vaga (gràfic blau)
Això representa el valor intrínsec de l’opció i es veu perfecte des del punt de vista d’un comprador d’opcions de trucada. A la regió vermella, tant el comprador com el venedor tenen una valoració justa (preu zero per al venedor, recompensa zero per al comprador). Tanmateix, el repte de valoració comença amb la regió blava, ja que el comprador té l’avantatge d’un benefici positiu, mentre que el venedor pateix una pèrdua (sempre que el preu subjacent superi el preu de la vaga). Aquí és on el comprador té un avantatge sobre el venedor amb un preu zero. Els preus no són nuls per compensar el venedor pel risc que corre.
En el primer cas (gràfic vermell), teòricament, el venedor rep el preu zero i hi ha un potencial de desemborsament zero per al comprador (just per a tots dos). En aquest darrer cas (gràfic blau), el venedor ha de pagar el diferencial entre el subjacent i la vaga al comprador. El risc del venedor s'estén al llarg de tot un any. Per exemple, el preu de les accions subjacents es pot moure molt alt (diguem-ne a 200 dòlars en quatre mesos) i el venedor ha de pagar al comprador el diferencial de 45 dòlars.
Per tant, es redueix a:
- El preu del subjacent creuarà el preu de la vaga? Si ho fa, fins que pot augmentar el preu subjacent (ja que determinarà la recompensa del comprador)?
Això indica el gran risc que el venedor porta a la pregunta: per què algú vendria una trucada si no obté res pel risc que està assumint?
El nostre objectiu és arribar a un preu únic que el venedor hauria de cobrar al comprador, cosa que pot compensar el risc global que assumeix un any, tant a la regió de pagament zero (vermell) com a la regió de pagament lineal (blau).. El preu ha de ser just i acceptable tant per al comprador com per al venedor. Si no és així, aquell que es troba en desavantatge pel que fa a pagar o rebre preu injust no participarà al mercat, derrotant així la finalitat del negoci comercial. El model de Black-Scholes pretén establir aquest preu just tenint en compte la variació de preus constant de l'acció, el valor en temps de diners, el preu de vaga de l'opció i el termini de caducitat de l'opció. De forma similar al model BS, vegem com podem aproximar-nos per avaluar-ho per exemple mitjançant els nostres propis mètodes.
Com avaluar el valor intrínsec a la regió blava?
Hi ha disponibles un parell de mètodes per predir el moviment esperat de preus en el futur durant un període de temps determinat:
- Es pot analitzar moviments de preus similars de la mateixa durada del passat recent. El històric preu de tancament d'IBM indica que en el darrer any (el 2 de gener de 2014 fins al 31 de desembre de 2014), el preu va caure a 160, 44 dòlars, des de 185, 53 dòlars, amb un descens del 13, 5%. Podem concloure un avanç del preu del -13, 5% per a IBM? Un control detallat addicional indica que tocava un màxim anual de 199, 21 dòlars (el 10 d'abril de 2014) i un mínim anual de 150, 5 dòlars (el 16 de desembre de 2014). Basant-los en el dia inicial, el 2 de gener de 2014 i el preu de tancament de 185, 53 dòlars, el canvi percentual varia des del + 7, 37% al -18, 88%. Ara, el rang de variacions sembla molt més ampli respecte al descens calculat anteriorment del 13, 5%.
Es poden realitzar anàlisis i observacions similars sobre dades històriques. Per continuar el nostre model de preus de preus, suposem aquesta senzilla metodologia per avaluar les variacions futures de preus.
Suposem que IBM puja un 10% cada any (segons les dades històriques dels darrers vint anys). Les estadístiques bàsiques indiquen que la probabilitat que el canvi de preu de les accions d’IBM sobrevolgui un + 10% sigui molt superior a la probabilitat que el preu de l’IBM creixi un 20% o baixi un 30%, suposant que es repeteixin els patrons històrics. Recopilant punts de dades històriques similars amb valors de probabilitat, es pot calcular una rendibilitat esperada del preu de les accions d’IBM en un termini d’un any com a mitjana ponderada de probabilitats i rendiments associats. Per exemple, suposem que les dades de preus històriques d’IBM indiquen els moviments següents:
- (-10%) en 25% de vegades, + 10% en 35% de vegades, + 15% en 20% de vegades, + 20% en un 10% de vegades, un 25% en un 5% de vegades i (-15%) en un 5% de vegades.
Per tant, la mitjana ponderada (o el valor esperat) arriba a:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6, 5%
És a dir, es preveu que, de mitjana, el preu de les accions d’IBM torni + 6, 5% en un any per cada dòlar. Si algú compra les accions d’IBM amb un horitzó d’un any i un preu de compra de 155 dòlars, es pot esperar un retorn net de 155 * 6, 5% = 10, 075 $.
Tot i això, es tracta de la devolució d’accions. Hem de buscar rendiments esperats similars per a l’opció de trucada.
A partir de la recompensa zero de la trucada per sota del preu de vaga (existents de 155 dòlars - trucada de caixer automàtic), tots els moviments negatius generaran desemborsaments zero, mentre que tots els moviments positius per sobre del preu de vaga generaran una compensació equivalent. El retorn previst de l’opció de trucada serà així:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9, 75%
És a dir, per cada 100 dòlars invertits en comprar aquesta opció, es pot esperar 9, 75 dòlars (segons els supòsits anteriors).
Tot i això, això encara es limita a la justa valoració de la quantitat intrínseca d’opció i no capta correctament el risc que suposa el venedor d’opcions per als alts balanços que es poden produir a l’interès (en el cas dels esmentats intrayear alts i baixos. preus). A més del valor intrínsec, quin preu poden acordar el comprador i el venedor, de manera que el venedor es compensi bastant pel risc que assumeix el termini d’un any?
Aquests canvis poden variar àmpliament i el venedor pot tenir la seva pròpia interpretació de la quantitat que vol ser compensada per això. El model Black-Scholes assumeix opcions de tipus europeu, és a dir, no fa exercici abans de la data de caducitat. Per tant, continua sent no afectat pels canvis de preus intermedis i basa la seva valoració en dies de negociació de final a final.
A la cotització real, aquesta volatilitat té un paper important en la determinació dels preus d’opcions. La funció blava de recompensa que veiem habitualment és en realitat la data de caducitat. De forma realista, el preu de l’opció (gràfic rosa) sempre és superior al rebut (gràfic blau), cosa que indica el preu que el venedor ha tingut per compensar les seves capacitats de risc. És per això que el preu de l’opció també es coneix com a opció “prima”, indicant essencialment la prima de risc.
Es pot incloure en el nostre model de valoració, depenent de la quantitat de volatilitat prevista en el preu de les accions i del valor esperat que obtindria.
El model de Black-Scholes ho fa de manera eficient (per descomptat, segons els seus supòsits) de la següent manera:
C = S × N (d1) −X × e − rTN (d2)
El model BS assumeix una distribució lognormal dels moviments de preus de les accions, que justifica l’ús de N (d1) i N (d2).
- A la primera part, S indica el preu actual de les accions. N (d1) indica la probabilitat del moviment actual de preus de les accions.
Si aquesta opció va guanyar diners, permetent al comprador exercir aquesta opció, obtindrà una part de les accions IBM subjacents. Si el comerciant l'exerceix avui, el S * N (d1) representa el valor esperat de l'opció actual.
A la segona part, X indica el preu de la vaga.
- N (d2) representa la probabilitat que el preu de les accions estigui per sobre del preu de vaga. Per tant, X * N (d2) representa el valor esperat del preu de l'acció que queda per sobre del preu de la vaga.
Com que el model de Black-Scholes assumeix opcions d’estil europeu en què l’exercici només és possible al final, s’hauria de descomptar el valor esperat representat anteriorment per X * N (d2) pel valor de diners. Per tant, l'última part es multiplica amb un termini exponencial elevat a la taxa d'interès al llarg del període.
La diferència neta dels dos termes indica el valor del preu de l’opció a dia d’avui (en què es descompta el segon terme)
En el nostre marc, aquests moviments de preus es poden incloure amb més precisió de diverses maneres:
- Perfeccionament addicional dels càlculs de rendibilitat esperats ampliant la franja a intervals més fins per incloure moviments de preus intra-dies / intrayear Inclusió de les dades del mercat actuals, ja que reflecteix l'activitat actual (similar a la volatilitat implícita). es descomptarà de nou a l’actualitat per obtenir-ne valoracions realistes i es redueix encara més del valor actual
Així, veiem que no hi ha cap límit per a hipòtesis, metodologies i personalitzacions per seleccionar-les per a anàlisis quantitatives. Depenent de l’actiu a negociar o de la inversió que s’ha de considerar, es pot treballar sobre un model auto-desenvolupat. És important tenir en compte que la volatilitat dels moviments de preus de diferents classes d'actius varia molt; les accions tenen inclinació en la volatilitat, la divisa de volatilitat es descarta i els usuaris haurien d'incorporar els patrons de volatilitat aplicables als seus models. Els supòsits i els inconvenients són part integrant de qualsevol model i l’aplicació de models coneixedors en els escenaris comercials del món real pot obtenir millors resultats.
La línia de fons
Amb els actius complexos que entren als mercats o fins i tot els actius vainils obtinguts amb formes complexes de negociació, el modelat i l'anàlisi quantitatius és cada vegada més obligatori per a la seva valoració. Malauradament, cap model matemàtic no presenta un conjunt d’inconvenients i hipòtesis. El millor enfocament és mantenir els supòsits al mínim i estar al corrent dels inconvenients implicats, que poden ajudar a dibuixar les línies d’ús i aplicabilitat dels models.
