Comprensió del model de preus de les opcions binòmiques

Determinació dels preus de les accions

Acordar un preu exacte per a qualsevol actiu negociable és difícil; per això, els preus de les accions canvien constantment. En realitat, les empreses gairebé no canvien les seves valoracions dia a dia, però els seus preus i accions de valors canvien gairebé cada segon. Aquesta dificultat per arribar a un consens sobre el correcte preu de qualsevol actiu negociable condueix a oportunitats d’arbitratge de curta durada.

Però una gran quantitat d’inversions amb èxit es redueix a una simple pregunta de valoració actual: quin és el preu actual adequat per a un futur benefici previst?

Valoració d’opcions binomines

En un mercat competitiu, per evitar oportunitats d’arbitratge, els actius amb estructures de retribució idèntiques han de tenir el mateix preu. La valoració de les opcions ha estat una tasca difícil i les variacions de preus han conduït a arbitràries. Black-Scholes continua sent un dels models més populars utilitzats per a opcions de preus, però té limitacions.

El model de preus d’opcions binòmiques és un altre mètode popular que s’utilitza per a les opcions de fixació de preus.

Exemples

Suposem que hi ha una opció de trucada en un estoc particular amb un preu de mercat actual de 100 dòlars. L’opció ATM (Money ATM) té un preu de vaga de 100 dòlars amb el temps que caduca per un any. Hi ha dos operadors, Peter i Paula, que tots dos estan d’acord que el preu de les accions pujarà fins als 110 dòlars o baixarà als 90 dòlars en un any.

Acorden els nivells de preus previstos en un període de temps determinat d'un any, però no estan d'acord amb la probabilitat de la pujada o la baixada. Peter creu que la probabilitat que el preu de les accions vagi a 110 dòlars és del 60%, mentre que Paula creu que és del 40%.

A partir d’això, qui estaria disposat a pagar més preu per l’opció de trucada? Possiblement, Peter, ja que espera una gran probabilitat de la superació.

Càlculs d’opcions binomines

Els dos actius, dels quals depèn la valoració, són l'opció de trucada i l'acció subjacent. Hi ha un acord entre els participants que el preu de les accions subjacents pot passar dels 100 dòlars actuals als 110 $ o els 90 dòlars en un any i no hi ha possibles altres moviments de preus.

En un món lliure d’arbitratge, si heu de crear una cartera formada per aquests dos actius, opció de trucada i accions subjacents, de manera que independentment d’on vagi el preu subjacent (110 $ o 90 $), el rendiment net de la cartera continua sent el mateix. Suposem que compreu accions "d" d'opcions de trucada subjacent i curtes per crear aquesta cartera.

Si el preu va a 110 dòlars, les vostres accions tindran un valor de 110 dòlars diaris i perdreu 10 dòlars en el pagament de les trucades curtes. El valor net de la vostra cartera serà (110d - 10).

Si el preu baixa a 90 dòlars, les vostres accions tindran un valor de 90 € * d i l'opció caducarà inútilment. El valor net de la vostra cartera serà (90d).

$\begin{matrix} h (d) - m = l (d) \\ on: \\ h = Preu subjacent potencial més alt \\ d = Nombre d’accions subjacents \\ m = Els diners perduts en el pagament de la curta trucada \\ l = Preu subjacent potencial més baix \end{matrix} \ begin {align} & h (d) - m = l (d) \ & \ textbf {where:} \ & h = \ text {Preu subjacent potencial més alt} \ & d = \ text {Nombre d'accions subjacents} \ & m = \ text {Diner perdut en la devolució de trucades curtes} \ & l = \ text {Preu subjacent potencial més baix} \ \ end {alineat}$ H (d) −m = l (d) on: h = El màxim preu subjacent al potencial més elevat = Nombre d'accions subjacentsm = Diner perdut a breu trucada payoffl = El preu més baix potencial potencial subjacent

Així, si compreu la meitat de la participació, suposant que es poden adquirir fraccions, aconseguireu crear una cartera de manera que el seu valor segueixi sent el mateix en els dos estats possibles en el termini d'un any.

$\begin{matrix} 110 d - 10 = 90 d \\ d = \frac{1}{2} \end{matrix} \ begin {align} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \ \ end {align}$ 110d − 10 = 90dd = 21

Aquest valor de cartera, indicat per (90d) o (110d - 10) = 45, és d'un any per sota de la línia. Per calcular el seu valor actual, es pot descomptar mitjançant la taxa de rendibilitat sense risc (suposant un 5%).

$\begin{matrix} Valor actual & = 90 d \times e^{(- 5 % \times 1 Curs)} \\ = 45 \times 0.9523 \\ = 42.85 \end{matrix} \ begin {align} text {Valor actual} & = 90d \ times e ^ {(-5 \% \ times 1 \ text {Year})} \ & = 45 \ times 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ final {alineat}$ Valor actual = 90d × e (−5% × 1 any) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Ja que actualment, la cartera està formada per ½ quota d’accions subjacents (amb un preu de mercat de 100 dòlars) i una trucada breu, hauria de ser igual al valor actual.

$\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times Preu trucada = $ 42.85 \\ Preu trucada = $ 7.14, és a dir, el preu de trucada d'avui \end{matrix} \ begin {align} & \ frac {1} {2} times 100 - 1 \ times \ text {Preu de la trucada} = \ 42, 85 $ \\ & \ text {Preu de la trucada} = \ 7, 14 $ \ text {, és a dir, el preu de la trucada d’avui} \ \ end {alineat}$ 21 × 100−1 × Preu de la trucada = 42, 85 $ Preu total = 7, 14 $, és a dir, el preu de trucada d'avui

Com que això es basa en el supòsit que el valor de la cartera segueix sent el mateix, independentment de quina forma vagi el preu subjacent, la probabilitat que es produeixi un moviment a l’alça o a la baixa no juga cap paper. La cartera roman exempta de risc, independentment dels canvis de preus subjacents.

En tots dos casos (se suposa que passen a 110 dòlars i passen a 90 dòlars), la teva cartera és neutral al risc i obté la taxa de rendibilitat sense risc.

Per tant, els operadors, Peter i Paula, estarien disposats a pagar els mateixos 7, 14 dòlars per aquesta opció de trucada, malgrat les diferents percepcions sobre les probabilitats de moviments ascendents (60% i 40%). Les seves probabilitats percebudes individualment no importen en la valoració d’opcions.

Si suposem que les probabilitats individuals siguin importants, pot haver-hi presentat oportunitats d’arbitratge. Al món real, existeixen aquestes oportunitats d’arbitratge amb diferències menors de preus i s’esvaeixen a curt termini.

Però, on és la tanta volatilitat en tots aquests càlculs, un factor important i sensible que afecta el preu de les opcions?

La volatilitat ja està inclosa per la naturalesa de la definició del problema. Si se suposa que dos (i només dos, d’aquí el nom de “binomi”) estats dels nivells de preus (110 $ i 90 dòlars), la volatilitat està implícita en aquest supòsit i s’inclou automàticament (un 10% de qualsevol manera en aquest exemple).

Black-Scholes

Però, aquest plantejament és correcte i coherent amb els preus habituals de Black-Scholes? Els resultats de la calculadora d’opcions (cortesia d’OIC) coincideixen estretament amb el valor calculat:

Malauradament, el món real no és tan senzill com "només dos estats". L'acció pot arribar a diversos nivells de preus abans de l'hora de caducitat.

És possible incloure tots aquests nivells múltiples en un model de preus binòmics restringit només a dos nivells? Sí, és molt possible, però per comprendre cal tenir unes matemàtiques senzilles.

Matemàtica senzilla

Per generalitzar aquest problema i solució:

"X" és el preu de mercat actual d'un estoc i "X * u" i "X * d" són els preus futurs dels moviments ascendents i baixats "t" anys després. El factor "u" serà més gran que un ja que indica un moviment amunt i "d" estarà entre zero i un. Per a l'exemple anterior, u = 1, 1 i d = 0, 9.

Les retribucions de l'opció de trucada són "P a _dalt " i "P _dn " per a moviments amunt i avall al moment de la seva caducitat.

$\begin{matrix} VUM = s \times X \times u - {Pàg}_{amunt} \\ on: \\ VUM = Valor de la cartera en cas de nova evolució \end{matrix} \ begin {align} & \ text {VUM} = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \ & \ textbf {where:} \ & \ text {VUM} = \ text {Valor de la cartera en cas de desplaçament} \ \ end {alineat}$ VUM = s × X × u − Pup on: VUM = Valor de la cartera en cas de moviments ascendents

$\begin{matrix} VDM = s \times X \times d - {Pàg}_{cap avall} \\ on: \\ VDM = Valor de la cartera en cas de baixada \end{matrix} \ begin {align} & \ text {VDM} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \ & \ textbf {on:} \ & \ text {VDM} = \ text {Valor de la cartera en cas de desplaçament a baix} \ \ end {alineat}$ VDM = s × X × d − Entrega on: VDM = Valor de la cartera en cas de baixada

Per a una valoració similar en qualsevol cas de variació de preus:

$s \times X \times u - {Pàg}_{amunt} = s \times X \times d - {Pàg}_{cap avall} s \ times X \ times u - P_ \ text {up} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down}$ s × X × u − Pup = s × X × d − Pdown

$\begin{matrix} s & = \frac{{Pàg}_{amunt} - {Pàg}_{cap avall}}{X \times (u - d)} \\ = El nombre d'accions a comprar \\ una cartera sense risc \end{matrix} \ begin {align} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {X \ times (u - d)} \ & = \ text {El nombre d'accions a comprar per} \ & \ phantom {=} text {una cartera sense risc} \ \ end {alineat}$ s = X × (u − d) Pup −Pdown = El nombre d'accions a comprar per a una cartera lliure de risc

El valor futur de la cartera al final dels anys "t" serà:

$\begin{matrix} En cas de Up Move & = s \times X \times u - {Pàg}_{amunt} \\ = \frac{{Pàg}_{amunt} - {Pàg}_{cap avall}}{u - d} \times u - {Pàg}_{amunt} \end{matrix} \ begin {align} text {En cas de desplaçament superior} & = s \ vegades X \ times u - P_ \ text {up} \ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {u - d} times u - P_ \ text {up} \ \ end {align}$ En cas de desplaçar-se = s × X × u − Pup = u − dPup −Page × u − Pup

$\begin{matrix} En cas de Down Move & = s \times X \times d - {Pàg}_{cap avall} \\ = \frac{{Pàg}_{amunt} - {Pàg}_{cap avall}}{u - d} \times d - {Pàg}_{cap avall} \end{matrix} \ begin {align} text {En cas de desplaçament cap avall} & = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {u - d} times d - P_ \ text {down} \ \ end {align}$ En cas de desplaçament cap avall = s × X × d − Pdown = u − dPup −Page × d − Pdown

El valor actual es pot obtenir descomptant-lo amb la taxa de rendibilitat sense risc:

$\begin{matrix} PV = e (- r t) \times \\ on: \\ PV = Valor actual \\ r = Taxa de rendiment \\ t = Temps, en anys \end{matrix} \ begin {align} & \ text {PV} = e (-rt) times \ left \\ & \ textbf {on:} \ & \ text {PV} = \ text {Valor de l'actualitat} \ & r = \ text {Taxa de retorn} \ & t = \ text {Temps, en anys} \ \ end {alineat}$ PV = e (−rt) × on: PV = Valorat en l'actualitat = Taxa de tornada = Temps, en anys

Això hauria de coincidir amb la participació de la cartera d’accions "s" al preu X, i el valor de trucada breu "c" (presentació actual de (s * X - c)) hauria de ser igual a aquest càlcul.) Resoldre finalment "c" com:

Nota: si la prima de trucada és escurçada, hauria d'afegir una suma a la cartera i no una resta.

$c = \frac{e (- r t)}{u - d} \times c = \ frac {e (-rt)} {u - d} times$ c = u − de (−rt) ×

Una altra manera d'escriure l'equació és reordenant-la:

Prenent "q" com:

$q = \frac{e (- r t) - d}{u - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u − de (−rt) d

Llavors l’equació es converteix en:

$c = e (- r t) \times (q \times {Pàg}_{amunt} + (1 - q) \times {Pàg}_{cap avall}) c = e (-rt) times (q \ times P_ \ text {up} + (1 - q) times P_ \ text {down})$ c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Representació)

L’ordenació de l’equació en termes de “q” ha ofert una nova perspectiva.

Ara podeu interpretar "q" com a probabilitat del moviment ascendent del subjacent (ja que "q" està associat a P _up i "1-q" està associat a P _dn). Globalment, l’equació representa el preu d’opció actual, el valor descomptat de la seva liquidació en venciment.

Aquesta "Q" és diferent

Com es diferencia aquesta probabilitat "q" de la probabilitat de passar a dalt o de baixar del fons?

$\begin{matrix} VSP = q \times X \times u + (1 - q) \times X \times d \\ on: \\ VSP = Valor del preu de les accions en el seu moment t \end{matrix} \ begin {align} & \ text {VSP} = q \ times X \ times u + (1 - q) times X \ times d \\ & \ textbf {on:} \ & \ text {VSP} = \ text {Valor del preu de les accions a l'hora} t \\ \ end {alineat}$ VSP = q × X × u + (1 − q) × X × en qualsevol lloc: VSP = Valor del preu de les accions a Time t

Substituint el valor de "q" i reordenant, el preu de les accions en el moment "t" arriba a:

$\begin{matrix} Preu de les accions = e (r t) \times X \end{matrix} \ begin {align} & \ text {Stock Stock} = e (rt) times X \\ \ end {align}$ Preu de l'estoc = e (rt) × X

En aquest supòsit món de dos estats, el preu de les accions augmenta simplement per la taxa de rendibilitat lliure de risc, exactament com un actiu lliure de risc i, per tant, roman independent de qualsevol risc. Els inversors són indiferents al risc sota aquest model, de manera que això constitueix el model de risc neutre.

La probabilitat "q" i "(1-q)" són conegudes com a probabilitats neutres i el mètode de valoració es coneix com el model de valoració de risc neutre.

L’exemple d’escenari té un requisit important: la futura estructura de recompensa és necessària amb precisió (nivells de 110 $ i 90 $). A la vida real, aquesta claredat sobre els nivells de preus basats en etapes no és possible; més aviat, el preu es mou de manera aleatòria i pot variar a diversos nivells.

Per ampliar l’exemple encara, suposem que els nivells de preus en dos passos són possibles. Coneixem els beneficis finals del segon pas i hem de valorar l’opció avui (al pas inicial):

Si es treballa enrere, la valoració del primer pas intermedi (a t = 1) es pot fer mitjançant els beneficis finals al segon pas (t = 2), i després utilitzant aquestes valoracions del primer pas calculades (t = 1), la valoració actual (t = 0) es pot aconseguir amb aquests càlculs.

Per obtenir el preu de les opcions al número dos, s’utilitzen les despeses a quatre i cinc. Per obtenir preus per al número tres, s’utilitzen les despeses dels cinc i sis. Finalment, els beneficis calculats a dos i tres s’utilitzen per obtenir preus al número u.

Tingueu en compte que aquest exemple assumeix el mateix factor per als moviments ascendents (i baixats) als dos passos: u i d s'apliquen de manera complexa.

Un exemple de treball

Suposem que una opció de venda amb un preu de vaga de 110 dòlars es cotitza actualment a 100 dòlars i caduca en un any. La taxa anual lliure de risc és del 5%. Es preveu que el preu augmentarà un 20% i disminuirà un 15% cada sis mesos.

Aquí, u = 1, 2 i d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

utilitzant la fórmula derivada anterior de

$q = \frac{e (- r t) - d}{u - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u − de (−rt) d

obtenim q = 0, 35802832

valor de l’opció put al punt 2, $\begin{matrix} {pàg}_{2} = e (- r t) \times (pàg \times {Pàg}_{pujada} + (1 - q) {Pàg}_{actualització}) \\ on: \\ pàg = Preu de l’opció put \end{matrix} \ begin {align} & p_2 = e (-rt) times (p \ times P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \ & \ textbf {on:} \ & p = \ text {Preu de l'opció put} \ \ end {align}$ P2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) on: p = Preu de l'opció put

A la condició de _{pujada de} P, el subjacent serà = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 dòlars, que condueix a la _{pujada de} P = zero

A la condició d’ _{actualització} P, el subjacent serà = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 $ donant lloc a P _updn = 8 $

A la condició de _Pndnd, el subjacent serà = 100 * 0, 85 * 0, 85 = _{72, 25} dòlars, que condueix a P _dndn = 37, 75 $

p ₂ = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741

De la mateixa manera, p ₃ = 0.975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924

${pàg}_{1} = e (- r t) \times (q \times {pàg}_{2} + (1 - q) {pàg}_{3}) p_1 = e (-rt) times (q \ times p_2 + (1 - q) p_3)$ p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3)

Per tant, el valor de l’opció put, p ₁ = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = 18, 29 dòlars.

De la mateixa manera, els models binomials permeten desglossar tota la durada de l’opció per perfeccionar encara més diversos passos i nivells. Mitjançant programes o fulls de càlcul d’ordinador, podeu treballar un pas enrere per obtenir el valor actual de l’opció desitjada.

Un altre exemple

Assumim una opció de venda de tipus europeu amb nou mesos a caducar, un preu de vaga de 12 dòlars i un preu subjacent actual de 10 dòlars. Assumeix una taxa lliure de risc del 5% per a tots els períodes. Suposem que cada tres mesos, el preu subjacent pot moure un 20% cap amunt o cap avall, donant-nos u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 i un arbre binomi de tres passos.

El vermell indica els preus subjacents, mentre que el blau indica la recompensa de les opcions de venda.

La probabilitat "q" neutra pel risc es calcula a 0.531446.

Utilitzant els valors anteriors de "q" i valors de desemborsament a t = nou mesos, els valors corresponents a t = sis mesos es calculen com:

A més, utilitzant aquests valors computats a t = 6, els valors a t = 3 i a t = 0 són:

D'aquesta manera, el valor actual d'una opció de venda és de 2, 18 dòlars, molt a prop del que trobareu fent els càlculs mitjançant el model de Black-Scholes (2, 30 $).

La línia de fons

Tot i que l'ús de programes informàtics pot fer aquests càlculs intensius, la predicció de preus futurs segueix sent una limitació important dels models binòmics per a la fixació de preus d'opcions. Com més fines siguin els intervals de temps, més difícil serà de predir les despeses al final de cada període amb una precisió d'alt nivell.

No obstant això, la flexibilitat per incorporar els canvis esperats en diferents períodes és un avantatge, cosa que el fa adequat per fixar preus en opcions americanes, incloses les valoracions d’exercici inicial.

Els valors computats mitjançant el model binomial coincideixen estretament amb els computats d'altres models d'ús comú com Black-Scholes, la qual cosa indica la utilitat i la precisió dels models binòmics per a la fixació de preus d'opcions. Es poden desenvolupar models de preus de binomi segons les preferències del comerciant i poden funcionar com a alternativa a Black-Scholes.

Taula de continguts: