Definició de relació lineal

Què és una relació lineal?

Una relació lineal (o associació lineal) és un terme estadístic utilitzat per descriure una relació recta entre una variable i una constant. Les relacions lineals poden expressar-se en un format gràfic on la variable i la constant es connecten a través d'una línia recta o en un format matemàtic on la variable independent es multiplica pel coeficient de pendent, afegit per una constant, que determina la variable dependent.

Una relació lineal pot contrastar-se amb una relació polinòmica o no lineal (corba).

Punts clau

Una relació lineal (o associació lineal) és un terme estadístic utilitzat per descriure una relació recta entre una variable i una constant. Les relacions lineals es poden expressar en un format gràfic o com una equació matemàtica de la forma y = mx + b Les relacions lineals són força habituals a la vida diària.

L’equació lineal és:

Matemàticament, una relació lineal és la que satisfà l’equació:

$\begin{matrix} i = m x + b \\ on: \\ m = pendent \\ b = intercepció y \end{matrix} \ begin {align} & y = mx + b \\ & \ textbf {on:} \ & m = \ text {pendent} \ & b = \ text {y-intercept} \ \ end {align}$ Y = mx + bwhere: m = pendent = intercepció y

En aquesta equació, "x" i "y" són dues variables que estan relacionades amb els paràmetres "m" i "b". Gràficament, y = mx + b traça en el pla xy com a línia amb pendent "m" i intercepció y "b." L'intercepció y "b" és simplement el valor de "y" quan x = 0. La inclinació "m" es calcula a partir dels dos punts individuals (x ₁, y ₁) i (x ₂, y ₂) com:

$m = \frac{(i_{2} - i_{1})}{(x_{2} - x_{1})} m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)}$ m = (x2 −x1) (y2 −y1)

Relació lineal

Què et diu una relació lineal?

Hi ha tres conjunts de criteris necessaris que ha de complir una equació per qualificar-se de lineal: una equació que expressa una relació lineal no pot constar de més de dues variables, totes les variables d’una equació han de ser de primera potència., i l'equació ha de grafitzar-se com a recta.

Una funció lineal en matemàtiques és aquella que satisfà les propietats d’additivitat i homogeneïtat. Les funcions lineals també observen el principi de superposició, que estableix que la sortida neta de dues o més entrades és igual a la suma de les sortides de les entrades individuals. Una relació lineal d’ús comú és una correlació, que descriu com una variable canvia de forma lineal a canvis en una altra variable.

En econometria, la regressió lineal és un mètode sovint utilitzat per generar relacions lineals per explicar diversos fenòmens. No totes les relacions són lineals, però. Algunes dades descriuen relacions corbes (com ara relacions polinòmiques) mentre que altres dades no es poden parametriçar.

Funcions lineals

El concepte de funció lineal és similar al matemàtic d'una relació lineal. En una variable, una funció lineal es pot escriure de la manera següent:

$\begin{matrix} f (x) = m x + b \\ on: \\ m = pendent \\ b = intercepció y \end{matrix} \ begin {align} & f (x) = mx + b \\ & \ textbf {on:} \ & m = \ text {pendent} \ & b = \ text {y-intercept}} \ \ end {alineat}$ F (x) = mx + bwhere: m = pendent = intercepció y

Això és idèntic a la fórmula indicada per a una relació lineal, tret que el símbol f (x) s'utilitzi en lloc de y. Aquesta substitució es fa per posar de manifest el significat que x es mapeja a f (x), mentre que l'ús de y indica simplement que x i y són dues quantitats, relacionades per A i B.

En l'estudi de l'àlgebra lineal, les propietats de les funcions lineals són àmpliament estudiades i es fan rigoroses. Tenint en compte un escalar C i dos vectors A i B de R ^N, la definició més general d'una funció lineal estableix que: $c \times f (A + B) = c \times f (A) + c \times f (B) c \ times f (A + B) = c \ times f (A) + c \ times f (B)$ c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B)

Exemples de relacions lineals

Exemple 1

Les relacions lineals són força habituals a la vida diària. Prenguem per exemple el concepte de velocitat. La fórmula que utilitzem per calcular la velocitat és la següent: la velocitat de velocitat és la distància recorreguda al llarg del temps. Si algú en un monovolum blanc de Chrysler Town and Country viatja entre Sacramento i Marysville a Califòrnia, un tram de 41, 3 milles a l'autopista 99 i el trajecte acabi triguant 40 minuts, haurà viatjat poc menys de 60 km per hora.

Si bé hi ha més de dues variables en aquesta equació, no deixa de ser una equació lineal, ja que una de les variables sempre serà una constant (distància).

Exemple 2

Una relació lineal també es pot trobar a l'equació distància = velocitat x temps. Com que la distància és un nombre positiu (en la majoria dels casos), aquesta relació lineal s’expressaria al quadrant superior dret d’un gràfic amb eixos X i Y.

Si una bicicleta feta per a dos viatjava a un ritme de 30 milles per hora durant 20 hores, el genet acabarà recorrent 600 milles. Representada gràficament amb la distància en l’eix Y i el temps en l’eix X, una línia de seguiment de la distància d’aquestes 20 hores recorreria directament des de la convergència dels eixos X i Y.

Exemple 3

Per convertir Celsius en Fahrenheit o Fahrenheit en Celsius, faríeu servir les equacions següents. Aquestes equacions expressen una relació lineal en un gràfic:

$° C = \frac{5}{9} (° F - 32) \ grau C = \ frac {5} {9} ( grau F - 32)$ ° C = 95 (° F − 32)

$° F = \frac{9}{5} (° C + 32) \ grau F = \ frac {9} {5} ( grau C + 32)$ ° F = 59 (° C + 32)

Exemple 4

Suposem que la variable independent és la mida d’una casa (mesurada en metre quadrat) que determina el preu de mercat d’una casa (la variable dependent) quan es multiplica pel coeficient de pendent de 207, 65 i s’afegeix al terme constant de 10.500 dòlars.. Si el metre quadrat d'una casa és de 1.250, el valor de mercat de l'habitatge és (1.250 x 207, 65) + 10.500 $ = 270.062, 50 dòlars. Gràficament i matemàticament, es presenta de la manera següent:

En aquest exemple, a mesura que augmenta la mida de la casa, el valor de mercat de la casa augmenta de forma lineal.

Algunes relacions lineals entre dos objectes es poden anomenar "constants de proporcionalitat". Aquesta relació apareix com

$\begin{matrix} I = k \times X \\ on: \\ k = constant \\ I, X = quantitats proporcionals \end{matrix} \ begin {align} & Y = k \ times X \\ & \ textbf {on:} \ & k = \ text {constant} \ & Y, X = \ text {quantitats proporcionals} \ \ end {align}$ Y = k × Xwhere: k = constantY, X = quantitats proporcionals

Quan s’analitzen dades de comportament, rarament hi ha una relació lineal perfecta entre variables. Tanmateix, es poden trobar línies de tendència en dades que formen una versió aproximada d’una relació lineal. Per exemple, podeu mirar la venda de gelats i el nombre de visites a l’hospital com a dues variables en joc en un gràfic i trobar una relació lineal entre ambdues.

Taula de continguts: